數(shù)學(xué)高考試題及答案

　　一、選擇題

　　1 .(2013年高考重慶卷(文))某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為

　　()

　　A. B. C. D.

　　【答案】D

　　2 .(2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷(文))一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)分別是 ,畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以 平面為投影面,則得到正視圖可以為

　　( )

　　A. B. C. D.

　　【答案】A

　　3 .(2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷(文))某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示,

　　則該幾何的體積為()

　　A. B. C. D.

　　【答案】A

　　4 .(2013年高考大綱卷(文))已知正四棱錐

　　的正弦值等于()

　　A. B. C. D.

　　【答案】A

　　5 .(2013年高考四川卷(文))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,

　　則該幾何體可以是()

　　A.棱柱 B.棱臺(tái) C.圓柱 D.圓臺(tái)

　　【答案】D

　　6 .(2013年高考浙江卷(文))已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,

　　則該幾何體的體積是()

　　A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm3 D.84cm3

　　【答案】B

　　7 .(2013年高考北京卷(文))如圖,在正方體 中, 為

　　對(duì)角線 的三等分點(diǎn),則 到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有 ()

　　A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)

　　【答案】B

　　8 .(2013年高考廣東卷(文))某三棱錐的三視圖如圖 2所示,則該三棱錐

　　的體積是()

　　A. B. C. D.

　　【答案】B

　　9 .(2013年高考湖南(文))已知正方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1

　　的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為 的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于()

　　A. B.1 C. D.

　　【答案】D

　　10.(2013年高考浙江卷(文))設(shè)m.n是兩條不同的直線,α.β是兩個(gè)不同的平面, ()

　　A.若m‖α,n‖α,則m‖n B.若m‖α,m‖β,則α‖β

　　C.若m‖n,m⊥α,則n⊥α D.若m‖α,α⊥β,則m⊥β

　　【答案】C

　　11.(2013年高考遼寧卷(文))已知三棱柱 的6個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑為 ()

　　A. B. C. D.

　　【答案】C

　　12.(2013年高考廣東卷(文))設(shè) 為直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是 ()

　　A.若 , ,則 B.若 , ,則

　　C.若 , ,則 D.若 , ,則

　　【答案】B

　　13.(2013年高考山東卷(文 ))一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)

　　視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()

　　A. B. C. D.8,8

　　【答案】B

　　14.(2013年高考江西卷(文))一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體

　　的體積為 ()

　　A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π

　　【答案】A

　　二、填空題

　　15.(2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷(文))已知正四棱錐O-ABCD的體積為 ,底面

　　邊長(zhǎng)為 ,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______.

　　【答案】

　　16.(2013年高考湖北卷(文))我國(guó)古代數(shù)學(xué) 名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是__________寸.

　　(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)

　　【答案】3

　　17.(2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷(文))已知 是球 的直徑 上一點(diǎn), , 平面 , 為垂足, 截球 所得截面的面積為 ,則球 的表面積為_(kāi)______.

　　【答案】 ;

　　18.(2013年高考北京卷(文))某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積為_(kāi)_________.

　　【答案】3

　　19.(2013年高考陜西卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為_(kāi)_______.

　　【答案】

　　20.(2013年高考大綱卷(文))已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長(zhǎng)等于球 的半徑, 則球 的表面積等于______.

　　【答案】

　　21.(2013年上海高考數(shù)學(xué)試題(文科))已知圓柱 的母線長(zhǎng)為 ,底面半徑為 , 是上地面圓心, 、 是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn), 是母線,如圖.若 直線 與 所成角的大小為 ,則 ________.

　　【答案】

　　22.(2013年高考天津卷(文))已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為 , 則正方體的棱長(zhǎng)為 ______.

　　【答案】

　　23.(2013年高考遼寧卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示,則該

　　幾何體的體積是____________.

　　【答案】

　　24.(2013年高考江西卷(文))如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同

　　一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)�數(shù)為_(kāi)____________.

　　【答案】4

　　25.(2013年高考安徽(文))如圖,正方體

　　的棱長(zhǎng)為1, 為 的中點(diǎn),

　　為 線段 上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) 的平

　　面截該正方體所得的截面記為 ,則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號(hào)).

　�、� 當(dāng) 時(shí), 為四邊形;②當(dāng) 時(shí), 為等腰梯形;

　　③當(dāng) 時(shí), 與 的交點(diǎn) 滿足 ;

　�、墚�(dāng) 時(shí), 為六邊形;⑤當(dāng) 時(shí), 的面積為 .

　　【答案】①②③⑤

　　三、解答題

　　26.(2013年高考遼寧卷(文))如圖,

　　(I)求證:

　　(II)設(shè)

　　【答案】

　　27.(2013年高考浙江卷(文))如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn).

　　(Ⅰ)證明:BD⊥面PAC ;

　　(Ⅱ)若G是PC的中點(diǎn),求DG與APC所成的角的正切值;

　　(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.

　　【答案】解:證明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因?yàn)?;

　　(Ⅱ)設(shè) ,由(1)知 ,連接 ,所以 與面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 與面 所成的角的正切值是 ;

　　(Ⅲ)由已知得到: ,因?yàn)?,在 中, ,設(shè)

　　28.(2013年高考陜西卷(文))如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

　　(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;

　　(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.

　　【答案】解: (Ⅰ) 設(shè) .

　　.(證畢)

　　(Ⅱ) .

　　在正方形AB CD中,AO = 1 .

　　所以, .

　　29.(2013年高考福建卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,

　　(1)當(dāng)正視圖方向與向量 的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐 的正視圖.

　　(要求標(biāo)出尺寸,并畫(huà)出演算過(guò)程);

　　(2)若 為 的中點(diǎn),求證: ;

　　(3)求三棱錐 的體積.

　　【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,過(guò)點(diǎn) 作 ,垂足為 , 由已知得,四邊形 為矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:

　　,從而 ,又由 平面 得,

　　從而在 中,由 , ,得

　　正視圖如右圖所示:

　　(Ⅱ)取 中點(diǎn) ,連結(jié) , ,在 中, 是 中點(diǎn),

　　∴ , ,又 ,

　　∴ , , ∴四邊形 為平行四邊形,∴

　　又 平面 , 平面 , ∴ 平面

　　(Ⅲ) ,

　　又 , ,所以

　　解法二:

　　(Ⅰ)同解法一

　　(Ⅱ)取 的中點(diǎn) ,連結(jié) ,

　　在梯形 中, ,且 ,∴四邊形 為平行四邊形

　　∴ ,又 平面 , 平面

　　∴ 平面 ,又在 中,

　　平面 , 平面

　　∴ 平面 .又 ,

　　∴平面 平面 ,又 平面

　　∴ 平面

　　(Ⅲ)同解法一

　　30.(2013年高考廣東卷(文))如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形 中, 分別是 邊上的點(diǎn), , 是 的中點(diǎn), 與 交于點(diǎn) ,將 沿 折起,得到如圖5所示的三棱錐 ,其中 .

　　(1) 證明: //平面 ;

　　(2) 證明: 平面 ;

　　(3) 當(dāng) 時(shí),求三棱錐 的體積 .

　　【答案】(1)在等邊三角形 中,

　　,在折疊后的三棱錐 中

　　也成立, , 平面 ,

　　平面 , 平面 ;

　　(2)在等邊三角形 中, 是 的中點(diǎn),所以 ①,

　　.

　　在三棱錐 中, , ②

　　;

　　(3)由(1)可知 ,結(jié)合(2)可得 .

　　31.(2013年高考湖南(文))如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在菱BB1上運(yùn)動(dòng).

　　(I) 證明:AD⊥C1E;

　　(II) 當(dāng)異面直線AC,C1E 所成的角為60°時(shí),求三菱子C1-A2B1E的體積.

　　【答案】解: (Ⅰ) .

　　(證畢)

　　(Ⅱ) .

　　32.(2013年高考北京卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,平面 底面 , , 和 分別是 和 的中點(diǎn),求證:

　　(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面

　　【答案】(I)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且PA垂直于這個(gè)平面的交線AD

　　所以PA垂直底面ABCD.

　　(II)因?yàn)锳B‖CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn)

　　所以AB‖DE,且AB=DE

　　所以ABED為平行四邊形,

　　所以BE‖AD,又因?yàn)锽E 平面PAD,AD 平面PAD

　　所以BE‖平面PAD.

　　(III)因?yàn)锳B⊥AD,而且ABED為平行四邊形

　　所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,

　　所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

　　所以CD⊥PD,因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)

　　所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.

　　33.(2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷(文))如圖,三棱柱 中, ,

　　(Ⅰ)證明: ;

　　(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的體積.

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