程序員面試題-求Fibonacci數(shù)列[算法]

題目：定義Fibonacci數(shù)列如下：

/0n=0

f(n)= 1n=1

f(n-1)+f(n-2)n=2

輸入n，用最快的方法求該數(shù)列的第n項(xiàng)。

分析：在很多C語(yǔ)言教科書(shū)中講到遞歸函數(shù)的時(shí)候，都會(huì)用Fibonacci作為例子。因此很多程序員對(duì)這道題的遞歸解法非常熟悉，看到題目就能寫(xiě)出如下的遞歸求解的代碼。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)

{

int result[2] = {0, 1};

if(n < 2)

return result[n];

return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);

}

但是，教科書(shū)上反復(fù)用這個(gè)題目來(lái)講解遞歸函數(shù)，并不能說(shuō)明遞歸解法最適合這道題目。我們以求解f(10)作為例子來(lái)分析遞歸求解的過(guò)程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同樣，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我們用樹(shù)形結(jié)構(gòu)來(lái)表示這種依賴(lài)關(guān)系

f(10)

/

f(9)f(8)

//

f(8) f(7)f(7)f(6)

/ /

f(7) f(6)f(6) f(5)

我們不難發(fā)現(xiàn)在這棵樹(shù)中有很多結(jié)點(diǎn)會(huì)重復(fù)的，而且重復(fù)的結(jié)點(diǎn)數(shù)會(huì)隨著n的增大而急劇增加。這意味這計(jì)算量會(huì)隨著n的增大而急劇增大。事實(shí)上，用遞歸方法計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度是以n的指數(shù)的方式遞增的。大家可以求Fibonacci的第100項(xiàng)試試，感受一下這樣遞歸會(huì)慢到什么程度。在我的機(jī)器上，連續(xù)運(yùn)行了一個(gè)多小時(shí)也沒(méi)有出來(lái)結(jié)果。

其實(shí)改進(jìn)的方法并不復(fù)雜。上述方法之所以慢是因?yàn)橹貜?fù)的計(jì)算太多，只要避免重復(fù)計(jì)算就行了。比如我們可以把已經(jīng)得到的數(shù)列中間項(xiàng)保存起來(lái)，如果下次需要計(jì)算的時(shí)候我們先查找一下，如果前面已經(jīng)計(jì)算過(guò)了就不用再次計(jì)算了。

更簡(jiǎn)單的辦法是從下往上計(jì)算，首先根據(jù)f(0)和f(1)算出f(2)，在根據(jù)f(1)和f(2)算出f(3)……依此類(lèi)推就可以算出第n項(xiàng)了。很容易理解，這種思路的時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)

{

int result[2] = {0, 1};

if(n < 2)

return result[n];

long long fibNMinusOne = 1;

long long fibNMinusTwo = 0;

long long fibN = 0;

for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)

{

fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

fibNMinusTwo = fibNMinusOne;

fibNMinusOne = fibN;

}

return fibN;

}

這還不是最快的方法。下面介紹一種時(shí)間復(fù)雜度是O(logn)的方法。在介紹這種方法之前，先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)公式：

{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1

(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個(gè)矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

有了這個(gè)公式，要求得f(n)，我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方，因?yàn)榫仃噞1, 1, 1,0}的n-1次方的結(jié)果的第一行第一列就是f(n)。這個(gè)數(shù)學(xué)公式用數(shù)學(xué)歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。

現(xiàn)在的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡(jiǎn)單第從0開(kāi)始循環(huán)，n次方將需要n次運(yùn)算，并不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質(zhì)：

/ an/2*an/2 n為偶數(shù)時(shí)

an=

a(n-1)/2*a(n-1)/2 n為奇數(shù)時(shí)

要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結(jié)果平方一下。如果把求n次方的問(wèn)題看成一個(gè)大問(wèn)題，把求n/2看成一個(gè)較小的問(wèn)題。這種把大問(wèn)題分解成一個(gè)或多個(gè)小問(wèn)題的思路我們稱(chēng)之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運(yùn)算了。

實(shí)現(xiàn)這種方式時(shí)，首先需要定義一個(gè)2×2的矩陣，并且定義好矩陣的乘法以及乘方運(yùn)算。當(dāng)這些運(yùn)算定義好了之后，剩下的事情就變得非常簡(jiǎn)單。完整的實(shí)現(xiàn)代碼如下所示。

#include

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// A 2 by 2 matrix

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

struct Matrix2By2

{

Matrix2By2

(

long long m00 = 0,

long long m01 = 0,

long long m10 = 0,

long long m11 = 0

)

:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)

{

}

long long m_00;

long long m_01;

long long m_10;

long long m_11;

};

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Multiply two matrices

// Input: matrix1 - the first matrix

// matrix2 - the second matrix

//Output: the production of two matrices

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

Matrix2By2 MatrixMultiply

(

const Matrix2By2& matrix1,

const Matrix2By2& matrix2

)

{

return Matrix2By2(

matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,

matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,

matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,

matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// The nth power of matrix

// 1 1

// 1 0

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)

{

assert(n > 0);

Matrix2By2 matrix;

if(n == 1)

{

matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);

}

else if(n % 2 == 0)

{

matrix = MatrixPower(n / 2);

matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

}

else if(n % 2 == 1)

{

matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);

matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));

}

return matrix;

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)

{

int result[2] = {0, 1};

if(n < 2)

return result[n];

Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);

return PowerNMinus2.m_00;

}

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