數(shù)學(xué)《平方差公式》導(dǎo)學(xué)案課件

　　●教學(xué)目標(biāo)

　　(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程.

　　2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.

　　(二)能力訓(xùn)練要求

　　1.在探索平方差公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力.

　　2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力.

　　(三)情感與價(jià)值觀要求

　　在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)捷美.

　　●教學(xué)重點(diǎn)

　　平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　●教學(xué)難點(diǎn)

　　用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.

　　●教學(xué)方法

　　探究與講練相結(jié)合.

　　使學(xué)生在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運(yùn)用自己的語言進(jìn)行表達(dá)，用符號(hào)證明這個(gè)規(guī)律，并探索出平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中學(xué)會(huì)應(yīng)用.

　　●教學(xué)過程

　　Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

　�。蹘煟菽隳苡煤�(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？

　　(1)2001×1999；(2)992－1

　　［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.

　�。蹘煟莺芎茫∥覀兝�用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運(yùn)算，從而使運(yùn)算很簡(jiǎn)便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個(gè)比2000大1，于是可寫成2000與1的和，一個(gè)比2000小1，于是可寫成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則算出來的結(jié)果為：20002－12，恰為這兩個(gè)數(shù)2000與1的平方差.即

　　(2000+1)(2000－1)=20002－12.

　　那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有類似的結(jié)果呢？

　　我們不妨看下面的做一做.

　　Ⅱ.使學(xué)生在計(jì)算的過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和符號(hào)表示其規(guī)律

　�。蹘煟莩鍪就队捌�(§1.7.1 A)

　　做一做：計(jì)算下列各題：

　　(1)(x+2)(x－2);

　　(2)(1+3a)(1－3a);

　　(3)(x+5y)(x－5y);

　　(4)(y+3z)(y－3z).

　　觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？

　�。凵�］上面四個(gè)算式都是多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法.

　�。凵�］上面四個(gè)算式每個(gè)因式都是兩項(xiàng).

　�。凵�］除上面兩個(gè)同學(xué)說的以外，更重要的是：它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.

　�。蹘煟菸覀冇^察出了算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).像這樣的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動(dòng)筆、動(dòng)腦，相信你一定會(huì)探尋到答案.

　　［生］解：(1)(x+2)(x－2)

　　=x2－2x+2x－4=x2－4；

　　(2)(1+3a)(1－3a)

　　=1－3a+3a－9a2=1－9a2；

　　(3)(x+5y)(x－5y)

　　=x2－5xy+5xy－25y2

　　=x2－25y2；

　　(4)(y+3z)(y－3z)

　　=y2－3yz+3zy－9z2

　　=y2－9z2

　　(如有必要的話可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想)

　�。凵�］從剛才這位同學(xué)的運(yùn)算，我發(fā)現(xiàn)：

　　即兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這和我們前面的一個(gè)簡(jiǎn)便運(yùn)算得出同樣的結(jié)果.

　　即

　�。蹘煟菽氵�能舉兩個(gè)例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)嗎？

　�。凵�］可以.例如：

　　(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；

　　(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.

　　即

　　上面兩個(gè)例子，同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差.

　　［師］為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)呢？

　　［生］因?yàn)槔�用多�?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零.只剩下這個(gè)數(shù)的平方差.

　�。蹘煟莺芎�！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明嗎？

　�。凵�］可以.上述規(guī)律用符號(hào)表示為：

　　(a+b)(a－b)=a2－b2 ①

　　其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.

　　利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則可以對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明，即

　　(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2

　　［師］同學(xué)們確實(shí)不簡(jiǎn)單用符號(hào)表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡(jiǎn)捷明快.

　　你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個(gè)名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的.

　　［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.

　�。蹘煟荽蠹彝�意嗎？

　�。凵�］同意.

　　［師］好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個(gè)公式的.你能用語言描述這個(gè)公式嗎？

　�。凵�］可以.這個(gè)公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差.

　�。蹘煟萜椒讲罟�式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式.用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運(yùn)算.

　　Ⅲ.體會(huì)平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項(xiàng)式乘法運(yùn)算帶來的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式.

　�。劾�1］(1)下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是( )

　　A.(x+1)(1+x) B.( a+b)(b－ a)

　　C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)

　　E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2)

　　(2)利用平方差公式計(jì)算：

　　(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);

　　(－m+n)(－m－n).

　�。凵�］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因?yàn)锽.( a+b)(b－ a)利用加法交換律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b與 a這兩個(gè)數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點(diǎn)；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個(gè)數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點(diǎn)；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個(gè)數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點(diǎn).

　�。蹘煟轂槭裁碅、C、D不能用平方差公式呢？

　　［生］A、C、D表示的不是兩個(gè)數(shù)的和與差的積的形式.

　�。蹘煟菹旅嫖覀兙蛠碜龅�(2)題，首先分析它們分別是哪兩個(gè)數(shù)和與差的積的形式.

　　［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式.

　�。蹘煟莺芎�！下面我們就來用平方差公式計(jì)算上面各式.

　�。凵�］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;

　　(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;

　　(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.

　�。蹘煟葸@位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們?cè)賮砜匆粋�(gè)例題.

　　出示投影片(記作§1.7.1 C)

　�。劾�2］利用平方差公式計(jì)算：

　　(1)(－ x－y)(－ x+y);

　　(2)(ab+8)(ab－8);

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2.

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評(píng).

　�。凵�］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)與y的和與差的積

　　=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)與y的平方差

　　= x2－y2——運(yùn)算至最后結(jié)果

　　(2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積

　　=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差

　　=a2b2－64——運(yùn)算至最后結(jié)果

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2——據(jù)運(yùn)算順序先計(jì)算m與n的和與差的積

　　=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式

　　=m2－n2+3n2——去括號(hào)

　　=m2+2n2——合并同類項(xiàng)至最簡(jiǎn)結(jié)果

　　［生］剛才這位同學(xué)的運(yùn)算有條有理，有根有據(jù)，我覺得利用平方差公式計(jì)算必須注意以下幾點(diǎn)：

　　(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式.

　　(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.

　　(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.

　�。凵�］還需注意最后的結(jié)果必須最簡(jiǎn).

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們總結(jié)的很好！下面我們?cè)賮砭毩?xí)一組題.

　　1.計(jì)算：

　　(1)(a+2)(a－2);

　　(2)(3a+2b)(3a－2b);

　　(3)(－x+1)(－x－1);

　　(4)(－4k+3)(－4k－3).

　　2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫在右框相應(yīng)的位置上.

　　解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;

　　(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;

　　(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;

　　(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.

　　2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;

　　(a－b)(a+b)=a2－b2;

　　(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;

　　(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)

　　=－a2－ab－ab－b2

　　=－a2－2ab－b2

　　(教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對(duì)確實(shí)有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo))

　　Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們有何體會(huì)和收獲呢？

　�。凵�］今天我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的一個(gè)重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.

　　［生］應(yīng)用這個(gè)公式要明白公式的特征：

　　(1)左邊為兩個(gè)數(shù)的和與差的積；

　　(2)右邊為兩個(gè)數(shù)的平方差.

　�。凵�］公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式.

　　［生］有些式子表面上不能用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能用公式.

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們總結(jié)的很好！還記得剛上課的一個(gè)問題嗎？計(jì)算992－1，現(xiàn)在想一想，能使它運(yùn)算更簡(jiǎn)便嗎？

　�。凵�］可以.992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：

　　992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.

　�。蹘煟菸覀儼l(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用是很靈活的，只要你準(zhǔn)確地把握它的結(jié)構(gòu)特征，一定能使你的運(yùn)算簡(jiǎn)捷明了.

　　Ⅴ.課后作業(yè)

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