數(shù)據(jù)分析方法論-層次分析法(一）

最近都在研究這些東西，會把這些東西逐步加入到我自己開發(fā)的數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)里頭，希望都一定時間應(yīng)該可以把這個數(shù)據(jù)分析軟件開放出來.

什么是層次分析法層次分析法(The analytic hierarchy process)簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。

層次分析法的基本思路與人對一個復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個旅游勝地A、B、C供你選擇，你會根據(jù)諸如景色、費用和 居住、飲食、旅途條件等一些準則去反復(fù)比較這3個候選地點.首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟寬綽、醉心旅游，自然分別看重景 色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會就每一個準則將3個地點進行對比，譬如 A景色最好，B次之;B費用最低，C次之;C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定哪個作為最佳地點。

層次分析法建模1.問題的提出

日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例如旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法解決問題帶來不便

2.層次分析法的基本步驟

1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地 分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊懀�同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因 素，最下層通常為方案或?qū)ο髮�，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多于9個)應(yīng)進一步分解出子準則層。

2、構(gòu)造成對比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和19比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層。

3、計算權(quán)向量并做一致性檢驗。對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應(yīng)特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)造成對比較陣。

4、計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗。計算最下層對目標的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較陣。

3.建立層次結(jié)構(gòu)模型

將問題包含的因素分層：最高層(解決問題的目的);中間層(實現(xiàn)總目標而采取的各種措施、必須考慮的準則等。也可稱策略層、約束層、準則層等);最低層(用于解決問題的各種措施、方案等)。把各種所要考慮的因素放在適當?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達這些因素的關(guān)系。

〔例1〕 購物模型

某一個顧客選購電視機時，對市場正在出售的四種電視機考慮了八項準則作為評估依據(jù)，建立層次分析模型如下：

〔例2〕 選拔干部模型

對三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設(shè)有三個干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型

4.構(gòu)造成對比較矩陣

比較第 i 個元素與第 j 個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權(quán)重aij來描述。設(shè)共有 n 個元素參與比較，則

稱為成對比較矩陣。

成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標度進行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同;aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要;aij = 5，元素 i 比元素 j 重要;aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多;aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要;aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于aij = 2n ? 1與aij = 2n + 1之間;

，n=1,2,...,9， 當且僅當aji = n�！　〕蓪Ρ容^矩陣的特點：

。(備注：當i=j時候，aij = 1)

對例 2， 選拔干部考慮5個條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：

a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認為品德比年齡重要。

5.作一致性檢驗

從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應(yīng)該有

aijajk = aik。

但實際上在構(gòu)造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。

由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣 的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

檢驗成對比較矩陣 A 一致性的步驟如下：

計算衡量一個成對比矩陣 A (n>1 階方陣)不一致程度的指標CI：　　

其中λmax是矩陣 A 的最大特征值。 注解

從有關(guān)資料查出檢驗成對比較矩陣 A 一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數(shù) 有關(guān)。按下面公式計算成對比較陣 A 的隨機一致性比率 CR：　　

。

判斷方法如下： 當CR<0.1時，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的;否則就調(diào)整成對比較矩陣 A，直到達到滿意的一致性為止�！　±�如對例 2 的矩陣

計算得到

,查得RI=1.12，

。

這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此時A的最大特征值對應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標準化后變成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。經(jīng)過標準化后這個向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。

求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig(A)，Y為成對比較陣 的特征值，D

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