中國(guó)剩余定理問(wèn)題的解題技巧

　　【問(wèn)題】有１個(gè)數(shù)，除以７余２．除以８余４，除以９余３，這個(gè)數(shù)至少是多少？

　　這種問(wèn)題稱為“中國(guó)剩余定理”問(wèn)題。

　　我一般用兩種方法解決這類問(wèn)題。

　　第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點(diǎn)，但適合所有這類題目。

　　第二種是最小共倍法，方法簡(jiǎn)單，但只適合特殊類型的題目。

　　還有“中國(guó)剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復(fù)雜，普及應(yīng)用有一定難度，還不穩(wěn)定。所以一般不用。

　　下面分別介紹一下常用的兩種方法。

　　通用的方法：逐步滿足法

　　【問(wèn)題】一個(gè)數(shù)，除以5余1，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？

　　把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1，6，11，16，21，26，……

　　然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現(xiàn)最小的是11。

　　所以11就是所求的數(shù)。

　　先滿足一個(gè)條件，再滿足另一個(gè)條件，所以稱之為“逐步滿足法”。

　　好多數(shù)學(xué)題目都可以用逐步滿足的思想解決。

　　特殊的方法：最小公倍法

　　情況一

　　【問(wèn)題】一個(gè)數(shù)除以5余1，除以3也余1。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？（1除外）

　　除以5余1：說(shuō)明這個(gè)數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。

　　除以3余1：說(shuō)明這個(gè)數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。

　　所以，這個(gè)數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)減去1后是15，所以這個(gè)數(shù)是15＋1=16。

　　情況二

　　【問(wèn)題】一個(gè)數(shù)除以5余4，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少？

　　這種情況也可以用特殊法。

　　數(shù)除以5余4，說(shuō)明這個(gè)數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。

　　數(shù)除以3余2，說(shuō)明這個(gè)數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。

　　所以，這個(gè)數(shù)加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)加上1后是15，所以這個(gè)數(shù)是15－1=14。

　　多個(gè)數(shù)的，比如3個(gè)數(shù)的，有時(shí)候其中兩個(gè)可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個(gè)條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個(gè)條件的數(shù)。

　　所以有時(shí)候特殊法和通用法混合使用。在使用的過(guò)程中如果能靈活運(yùn)用余數(shù)問(wèn)題的技巧，會(huì)非常有利于解題。

　　我們接下來(lái)分析最開(kāi)始的那個(gè)問(wèn)題。

　　【問(wèn)題】有１個(gè)數(shù)，除以７余２．除以８余４，除以９余３，這個(gè)數(shù)至少是多少？

　　這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過(guò)程中注意余數(shù)知識(shí)的運(yùn)用。

　　除以７余２的數(shù)可以寫(xiě)成7n＋2。

　　7n＋2這樣的數(shù)除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數(shù)知識(shí)）

　　7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數(shù)知識(shí)），則n最小取6。

　　所以滿足“除以７余２，除以8余4”的最小的數(shù)是7×6＋2=44。

　　所有滿足“除以７余２，除以8余4”的數(shù)都可以寫(xiě)成44＋56×m。（想想為什么？）

　　要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余數(shù)知識(shí)）

　　56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余數(shù)知識(shí)），則m最小取2。

　　所以滿足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的數(shù)是44＋56×2=156。

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