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不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計
作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師，時常要開展教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備工作，教學(xué)設(shè)計把教學(xué)各要素看成一個系統(tǒng)，分析教學(xué)問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學(xué)效果最優(yōu)化。寫教學(xué)設(shè)計需要注意哪些格式呢？以下是小編精心整理的不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計，歡迎大家分享。
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計1
一、教材分析
1、本節(jié)課的地位、作用和意義
基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(北京師范大學(xué)出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內(nèi)容。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了完全平方公式、圓、初步認(rèn)識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學(xué)習(xí)了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎(chǔ)；基本不等式是后面基本不等式與最大（�。┲档幕A(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實際應(yīng)用。
2、本節(jié)課的教學(xué)重點和難點
我通過解讀新課標(biāo)和分析教材，認(rèn)為：
重點：通過對新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應(yīng)用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學(xué)重點。
突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導(dǎo)啟發(fā)法來突出均值不等式的推導(dǎo)；用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)來突出均值不等式及其成立的條件。
難點：很多同學(xué)對均值不等式成立的條件的認(rèn)識不深刻，在應(yīng)用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。
突破難點的'方法：我將采用用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。
二、教學(xué)目標(biāo)分析
1、知識與技能目標(biāo)
�。�2）理解的幾何意義。
�。�3）能3分鐘內(nèi)寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準(zhǔn)確率為95%
2、過程方法與能力目標(biāo)
�。�1）探索并了解均值不等式的證明過程。
�。�2）體會均值不等式的證明方法。
3、情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)
�。�1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。
�。�2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，勇于提出問題、分析問題的習(xí)慣�！疤骄俊被静坏仁降淖C明（1）
【三維目標(biāo)】：
一、知識與技能
1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；
2.會用基本不等式解決簡單的最大（�。┲祮栴}；
二、過程與方法
三、情感、態(tài)度與價值觀
1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【教學(xué)重點與難點】：
【學(xué)法與教學(xué)用具】：
2.教學(xué)用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）
【授課類型】：新授課
【課時安排】：1課時
【教學(xué)思路】：
一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
1.提問：與哪個大？
2.基本不等式的幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。
二、研探新知
重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。
證明:
所以
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計2
一、教學(xué)設(shè)計理念：
這節(jié)課的目標(biāo)定位分為三個層面：
本節(jié)課我設(shè)計了五個環(huán)節(jié)：
�、僮兘虒W(xué)生學(xué)會知識為指導(dǎo)學(xué)生會學(xué)知識；
導(dǎo)入新課
師同學(xué)們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？?
【三維目標(biāo)】：
一、知識與技能
二、過程與方法
本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個中心。
三、情感、態(tài)度與價值觀
1.引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【三維目標(biāo)】：
一、知識與技能
二、過程與方法
三、情感、態(tài)度與價值觀
1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
二、重點、難點解讀
三、知識點精析
一、教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式
2．過程與方法
通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
3．情感、態(tài)度與價值觀：
三、教學(xué)資源普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）人教a版教材必修5
中學(xué)數(shù)學(xué)周刊20xx年第10期百度
四、教學(xué)方法與手段
啟發(fā)學(xué)生探究，多媒體輔助教學(xué)
五、教學(xué)過程
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境：
你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，為問題的引出做鋪墊
�。ǘ┬轮骄浚簣D1
將風(fēng)車抽象成圖2
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?圖2
即時,正方形efgh縮為一個點,這時有
2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；
【教學(xué)重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；
【教學(xué)難點】
基本不等式等號成立條件
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
基本不等式的幾何背景：
教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系
2.講授新課
1．探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的.邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切�，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。
2．得到結(jié)論：一般的，如果
3．思考證明：你能給出它的證明嗎？
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計3
知識與技能：
理解并掌握不等式的三個性質(zhì)，能運用性質(zhì)，用不等號連接某些代數(shù)式，進(jìn)行不等式的變形。
過程與方法：
經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)，小組交流合作學(xué)習(xí)，以及課堂上的成果，培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題，解決問題的能力，養(yǎng)成與他人交流，共同學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步的學(xué)習(xí)方法。
情感態(tài)度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果的活動中，感受學(xué)習(xí)的樂趣，體會與人合作的快樂。
教學(xué)難點：
正確運用不等式的性質(zhì)。
教學(xué)重點：
理解并掌握不等式的性質(zhì)3。
教學(xué)過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課
利用一臺平衡的天平提出問題，引入新課
1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質(zhì)量的砝碼，天平會有什么變化？
2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質(zhì)量的`砝碼，天平會有什么變化？
3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質(zhì)量同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數(shù)呢？通過天平演示，結(jié)合自己的觀察和思考，讓學(xué)生感受生活中的不等關(guān)系。
二、合作交流探究新知
1、問題情景：數(shù)學(xué)老師比語文老師年齡小。
1、10年后誰的年齡大？
2、20年之后呢？
3、5年之前呢？
假設(shè)數(shù)學(xué)，語文兩位老師的年齡分別為a，b，則a
a+10
a+20
a—5
2、探索與發(fā)現(xiàn)
一組：已知5>3，則5+2 3+2
5—2 3—2
二組：已知—1
—1—33—3
想一想不等號的方向改變嗎？
3、歸納：不等式的性質(zhì)1：
不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變
如果a＜b，那么a+c
如果a＞b，那么a+c >b+c，a—c >b—c。
不等號方向不改變！
4、大膽猜想
不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變
不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變
不等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（不為零），不等號的方向呢？
5、探索與發(fā)現(xiàn)
已知4
一組：4×2 6×（—2）；
4÷26÷（—2）。
思考不等號方向改變嗎？
不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數(shù)，不等號方向改不改變和什么有關(guān)？
6、不等式的性質(zhì)2：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。
如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac
7、不等式的性質(zhì)3：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。
如果a>b，且c
如果a
三、鞏固提高拓展延伸
例1：判斷下列各題的推導(dǎo)是否正確？為什么（學(xué)生口答）
�。�1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；
�。�2）因為a+8＞4，所以a＞—4；
�。�3）因為4a＞4b，所以a＞b；
（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；
�。�5）因為3＞2，所以3a＞2a．
�。�1）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3．
�。�2）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1．
�。�3）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2．
�。�4）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1．
�。�5）不對，應(yīng)分情況逐一討論．
當(dāng)a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質(zhì)2）
當(dāng)a=0時，3a=2a．
當(dāng)a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質(zhì)3）
考考你！0>4，哪里錯了？
已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時除以（n—m），得0>4。
等式與不等式的性質(zhì)
1、不等式的三個性質(zhì)。
2、等式與不等式的性質(zhì)對比。
先前后比較，再定不等號
四、總結(jié)歸納
1、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同之處；
2、在運用“不等式性質(zhì)3"時應(yīng)注意的問題．學(xué)生通過總結(jié)，可以幫助自己從整體上把握本節(jié)課所學(xué)知識培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也為下節(jié)課學(xué)好解不等式打下基礎(chǔ)。
五、布置作業(yè)
1、必做題：教科書第134頁習(xí)題9.1第4、5題
2、選做題：教科書第134頁習(xí)題9。 1第7題．
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計4
教學(xué)分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用。對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來。
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系。要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識。
三維目標(biāo)
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系。
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍。
3.通過溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美。
重點難點
教學(xué)重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍。
教學(xué)難點：準(zhǔn)確比較兩個代數(shù)式的大小。
課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課。
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢？讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著。這樣學(xué)生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系。你能舉出一些實際例子嗎？
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達(dá)這個關(guān)系？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”“b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系。在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容。
實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。
實例4：兩點之間線段最短。
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
實例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系。那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負(fù)數(shù)，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學(xué)生注意酸奶中的'脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論。
討論結(jié)果：
(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大。
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法。
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握。
變式訓(xùn)練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學(xué)生獨立完成，但要點撥學(xué)生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點。
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用。
變式訓(xùn)練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系。
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當(dāng)y
當(dāng)y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當(dāng)字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對y分類討論。
例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由。
活動：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓(xùn)練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓(xùn)練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立。
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結(jié)
1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識體系中。
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方。鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究。
作業(yè)
習(xí)題3—1A組3;習(xí)題3—1B組2.
設(shè)計感想
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化。經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過程，不宜長期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動地照搬一種實驗?zāi)Ｊ�。各種教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動。也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制。不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點。作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響。
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練。訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線。采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升。
備課資料
備用習(xí)題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。
2.試判斷下列各對整式的大�。�(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，當(dāng)a>b>0時，ab>1，a-b>0，則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當(dāng)b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
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