高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)
總結(jié)是事后對(duì)某一階段的學(xué)習(xí)、工作或其完成情況加以回顧和分析的一種書面材料，它可以有效鍛煉我們的語言組織能力，不妨坐下來好好寫寫總結(jié)吧。你所見過的總結(jié)應(yīng)該是什么樣的？下面是小編收集整理的高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)1
一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.
二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：（一）例題剖析：
(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域
思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對(duì)g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。
例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)開____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)椋?，e）
1，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)開_____________。x11解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1
x1例2.若函數(shù)f(x)即f的作用范圍為xR|x1，又f對(duì)f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1
f(x)1x1即1，解得x1且x2
1x1故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域
思路：設(shè)fg(x)的.定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。
例3.已知f(32x)的定義域?yàn)閤1，2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開________。解析：f(32x)的定義域?yàn)?，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x1，5
即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5
x2例4.已知f(x4)lg2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_____________。
x82x2x20解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范圍為(4，)，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以
2x(4，)，即f(x)的定義域?yàn)?4，)
�。�3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域
思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對(duì)h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。
例5.若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?，1，則f(log2x)的定義域?yàn)開___________。
解析：f(2)的定義域?yàn)?，1，即x1，1，由此得2，2
2xx11f的作用范圍為，2
21又f對(duì)log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域?yàn)?/p>
2，4
2，4
評(píng)注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對(duì)誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對(duì)象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。
三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題
�。�1）引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).若ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).
證明：在區(qū)間(a,b）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b
因?yàn)閡g(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因?yàn)楹瘮?shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即
f(g(x1))f(g(x2))，
故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).（2）．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；
將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；
若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。
�。�4）例題演練
例1、求函數(shù)ylog1(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明22解：定義域x2x30x3或x1
單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2則
y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)
2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)2222112同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)2
高一數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)
yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○
2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象○
聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。先判定函數(shù)單調(diào)性，然后證明是否有f（a）f(b)第三章函數(shù)的應(yīng)用習(xí)題
一、選擇題
1.下列函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)的是（）
222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法計(jì)算3x3x80在x(1,2)內(nèi)的根的過程中得：f(1)0，f(1.5)0，
f(1.25)0，則方程的根落在區(qū)間（）
A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)
3.若方程axxa0有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、
4.函數(shù)f(x)=lnx-2x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,
5.已知方程x3x10僅有一個(gè)正零點(diǎn)，則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是()
A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)
6．函數(shù)f(x)lnx2x6的零點(diǎn)落在區(qū)間()A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）
7.已知函數(shù)
fx的圖象是不間斷的，并有如下的對(duì)應(yīng)值表：x1234567fx8735548那么函數(shù)在區(qū)間（1，6）上的零點(diǎn)至少有（）個(gè)A．5B．4C．3D．28．方程2x1x5的解所在的區(qū)間是Ａ（０，１）Ｂ（１，２）Ｃ（２，３）Ｄ（３，４）
9.方程4x35x60的根所在的區(qū)間為A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)
10．已知f(x)2x22x，則在下列區(qū)間中，f(x)0有實(shí)數(shù)解的是（）
�。�
�。ǎ�
�。ǎ�
（(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）11．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為（）
xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程
x12x根的個(gè)數(shù)為（）
A、0B、1C、2D、3二、填空題
13.下列函數(shù)：1)y=lgx；2)y2;3)y=x2;4)y=|x|－1;其中有2個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)的序號(hào)是。
x214.若方程3x2的實(shí)根在區(qū)間m,n內(nèi)，且m,nZ,nm1，
x則mn.
222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零點(diǎn)是15、函數(shù)（必須寫全所有的零點(diǎn)）。
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第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)
yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○
2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，○
并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
4、基本初等函數(shù)的零點(diǎn)：
�、僬壤瘮�(shù)ykx(k0)僅有一個(gè)零點(diǎn)。
k(k0)沒有零點(diǎn)。x③一次函數(shù)ykxb(k0)僅有一個(gè)零點(diǎn)。
�、诜幢壤瘮�(shù)y④二次函數(shù)yax2bxc(a0)．
�。�1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．
⑤指數(shù)函數(shù)ya(a0,且a1)沒有零點(diǎn)。⑥對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.
⑦冪函數(shù)yx，當(dāng)n0時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)0，當(dāng)n0時(shí)，沒有零點(diǎn)。
5、非基本初等函數(shù)（不可直接求出零點(diǎn)的較復(fù)雜的函數(shù)），函數(shù)先把fx轉(zhuǎn)化成，這另fx0，再把復(fù)雜的函數(shù)拆分成兩個(gè)我們常見的函數(shù)y1,y2（基本初等函數(shù)）個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)fx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
6、選擇題判斷區(qū)間a,b上是否含有零點(diǎn)，只需滿足fafb0。Eg：試判斷方程xx2x10在區(qū)間[0,2]內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解？并說明理由。
1
42x7、確定零點(diǎn)在某區(qū)間a,b個(gè)數(shù)是唯一的條件是:①fx在區(qū)間上連續(xù)，且fafb0②在區(qū)間a,b上單調(diào)。Eg：求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。
8、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)：
從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)0的實(shí)數(shù)；
從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；若函數(shù)f(x)的.圖象在xx0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)．
Eg：一元二次方程根的分布討論
一元二次方程根的分布的基本類型
2axbxc0（a0）的兩實(shí)根為x1，x2，且x1x2.設(shè)一元二次方程
k為常數(shù)，則一元二次方程根的k分布（即x1，x2相對(duì)于k的位置）或根在區(qū)間上的
分布主要有以下基本類型：
表一：（兩根與0的大小比較）
分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0x10,x20x10,x20x10x2a0）大致圖象（得出的結(jié)論0b02af000b02af00f00
大致圖象（a0）得出的結(jié)論0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00（不綜討合論結(jié)a論）
af00表二：（兩根與k的大小比較）
分布情況兩根都小于k即兩根都大于k即一個(gè)根小于k，一個(gè)大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0）大致圖象（kkk得出的結(jié)論0bk2afk00bk2afk0fk0大致圖象（a0）得出的結(jié)論0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0（不綜討合論結(jié)a論）a0）afk0分布情況大致圖象（得出的結(jié)論表三：（根在區(qū)間上的分布）
兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一根在m,n一根在m,n內(nèi)，另一根在p,q內(nèi)（有兩種情況，只畫了一種）內(nèi)，mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或
大致圖象（a0）得出的結(jié)論0fm0fn0bmn2a綜合結(jié)論fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0（a不）討論
fmfn0Eg：（1）關(guān)于x的方程x22(m3)x2m140有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求m的取值范圍？
�。�2）關(guān)于x的方程x2(m3)x2m140有兩實(shí)根在[0,4]內(nèi)，求m的取值范圍？
2（3）關(guān)于x的方程mx2(m3)x2m140有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求m的取值范圍？
9、二分法的定義
對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)f(b)0的函數(shù)
yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，
使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
10、給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟：（1）確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)f(b)0，給定精度；（2）求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1；（3）計(jì)算f(x1)：
�、偃鬴(x1)=0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若f(a)f(x1)14、根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型：一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k0);二次函數(shù)模型：g(x)ax2bxc(a0);冪函數(shù)模型：h(x)axb(a0);
指數(shù)函數(shù)模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）
利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對(duì)各模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，選出合適的函數(shù)模型
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)3
本節(jié)知識(shí)包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象的基礎(chǔ)，函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)的圖象就迎刃而解了。
一、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義
2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明：
(1)定義法
(2)復(fù)合函數(shù)分析法
(3)導(dǎo)數(shù)證明法
(4)圖象法
二、函數(shù)的奇偶性和周期性
1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義
2、函數(shù)的奇偶性的.判定和證明方法
3、函數(shù)的周期性的判定方法
三、函數(shù)的圖象
1、函數(shù)圖象的作法
(1)描點(diǎn)法
(2)圖象變換法
2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換。
常見考法
本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容，是段考和高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數(shù)學(xué)的每一章聯(lián)合考查，多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。
誤區(qū)提醒
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。
2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示，不能用集合或不等式，單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間，不必考慮端點(diǎn)問題。
3、在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號(hào)隔開。
4、判斷函數(shù)的奇偶性，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。
5、作函數(shù)的圖象，一般是首先化簡(jiǎn)解析式，然后確定用描點(diǎn)法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)4
【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】
1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射.
2、對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：
(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式.
(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù).
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟：
(1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x，y對(duì)換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域.
注意①：對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起.
�、谑煜さ膽�(yīng)用，求f-1(x0)的值，合理利用這個(gè)結(jié)論，可以避免求反函數(shù)的過程，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對(duì)應(yīng)法則的同時(shí)，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型：
(1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來自于一個(gè)實(shí)際問題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;
(2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
�、俜质降姆帜覆坏脼榱�;
�、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;
�、蹖�(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
�、苤笖�(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
�、萑呛瘮�(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數(shù)y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.
應(yīng)注意，一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域，求另一個(gè)函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時(shí)f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
(1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)尋求函數(shù)的解析式.
(2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可.
(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，這時(shí)必須求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.
(4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式.
【(三)、函數(shù)的值域與最值】
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：
(1)直接法：亦稱觀察法，對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域.
(2)換元法：運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡(jiǎn)單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元.
(3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.
(4)配方法：對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.
(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.
(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數(shù)的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時(shí)，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.
3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的.最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”，“利潤(rùn)”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)問題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約，以便能正確求得最值.
【(四)、函數(shù)的奇偶性】
1、函數(shù)的奇偶性的定義：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：
注意如下結(jié)論的運(yùn)用：
(1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù);
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)·g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);
(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結(jié)論
(1)一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).
(6)奇偶性的推廣
函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對(duì)稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。
【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】
1、單調(diào)函數(shù)
對(duì)于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a，b]上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要注意以下三點(diǎn)：
(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.
(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).
(4)注意定義的兩種等價(jià)形式：
設(shè)x1、x2∈[a，b]，那么：
①在[a、b]上是增函數(shù);
在[a、b]上是減函數(shù).
�、谠赱a、b]上是增函數(shù).
在[a、b]上是減函數(shù).
需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.
(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1>x2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.
5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性
若u=g(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a，b]上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡(jiǎn)稱“同增、異減”.
在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.
6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法
(1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義，得出結(jié)論.
(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).
如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù).
【(六)、函數(shù)的圖象】
函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)作圖、識(shí)圖、用圖能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識(shí).
求作圖象的函數(shù)表達(dá)式
與f(x)的關(guān)系
由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換
y=f(x)±b(b>0)
沿y軸向平移b個(gè)單位
y=f(x±a)(a>0)
沿x軸向平移a個(gè)單位
y=-f(x)
作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形
y=f(|x|)
右不動(dòng)、左右關(guān)于y軸對(duì)稱
y=|f(x)|
上不動(dòng)、下沿x軸翻折
y=f-1(x)
作關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形
y=f(ax)(a>0)
橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
y=af(x)
縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的|a|倍，橫坐標(biāo)不變
y=f(-x)
作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形
【例】定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
�、偾笞C：f(0)=1;
�、谇笞C：y=f(x)是偶函數(shù);
�、廴舸嬖诔�(shù)c，使求證對(duì)任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個(gè)周期;如果不是，請(qǐng)說明理由.
思路分析：我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù)，解決這類問題一般采用賦值法.
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)=1.
�、诹顇=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數(shù).
�、鄯謩e用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
兩邊應(yīng)用中的結(jié)論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函數(shù)，2c就是它的一個(gè)周期.
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)5
一：函數(shù)及其表示
知識(shí)點(diǎn)詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等
1. 函數(shù)與映射的區(qū)別：
2. 求函數(shù)定義域
常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下：
�、佼�(dāng)f(x)為整式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽.
�、诋�(dāng)f(x)為分式時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)槭狗质椒帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合。
�、郛�(dāng)f(x)為偶次根式時(shí)，函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實(shí)數(shù)集合。
�、墚�(dāng)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合。
⑤如果f(x)是由幾個(gè)部分的'數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合，即求各部分有意義的實(shí)數(shù)集合的交集。
�、迯�(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。
�、邔�(duì)于由實(shí)際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域除上述外，還要受實(shí)際問題的制約。
3. 求函數(shù)值域
(1)、觀察法：通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域;
(2)、配方法;如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;
(3)、判別式法：
(4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;
(5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域;
(6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來求出值域;
(7)、利用基本不等式：對(duì)于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;
(8)、最值法：對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;
(9)、反函數(shù)法：如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)6
一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.
二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：
（一）例題剖析：
(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域
思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對(duì)g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。
例1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)開____________。解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)椋?，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)椋?，e）例2.若函數(shù)f(x)1x1，則函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)開_____________。
1x1解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1
即f的作用范圍為xR|x1，又f對(duì)f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應(yīng)滿足x1即1，解得x1且x2
1x1x1f(x)1
故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域
思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。
例3.已知f(32x)的定義域?yàn)閤1，2，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開________。解析：f(32x)的定義域?yàn)?，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x1，5
即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5
2例4.已知f(x4)lg2x2x8，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開_____________。
解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2x22x8，知
x22x80
解得x244，f的作用范圍為(4，)，又f對(duì)x作用，作用范圍不變，所以x(4，)，即f(x)的定義域?yàn)?4，)
（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域
思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對(duì)h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F(xiàn)為fh(x)的定義域。
例5.若函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?，1，則f(log2x)的定義域?yàn)開___________。
1解析：f(2)的定義域?yàn)?，1，即x1，1，由此得2，2
2xxf的作用范圍為
1，22又f對(duì)log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域?yàn)?/p>
12，4
2，4
評(píng)注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對(duì)誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對(duì)象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。
�。ǘ┩骄毩�(xí)：
21、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x)的定義域。
答案：[1,1]
2、已知函數(shù)f(32x)的定義域?yàn)閇3,3]，求f(x)的定義域。
答案：[3,9]
3、已知函數(shù)yf(x2)的定義域?yàn)?1,0)，求f(|2x1|)的定義域。
(12,0)(1,3)答案：
2
4、設(shè)fxlg2xx2，則ff的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4
x22,2x20得，f(x)的定義域?yàn)閤|2x2。故解：選C.由，解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定義域?yàn)?,11,4
2x5、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f()(a0)的定義域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,
x（1）當(dāng)a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|（2）當(dāng)
32a32}；a2a，即0a1時(shí)，有a2x32a}；
12a2a，
定義域?yàn)閧x|（3）當(dāng)
32a32a，即a1時(shí)，有1x32a}.12aa2a2，
定義域?yàn)閧x|2a故當(dāng)a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|xx32a32}；
當(dāng)0a1時(shí)，定義域?yàn)閧x|a}.
�。埸c(diǎn)評(píng)］對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對(duì)字母進(jìn)行討論，要注意思考討論字母的方法。
三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題
（1）引理證明已知函數(shù)yf(g(x)).若ug(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).
證明：在區(qū)間(a,b）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使ax1x2b
因?yàn)閡g(x)在區(qū)間(a,b）上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因?yàn)楹瘮?shù)yf(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，
故函數(shù)yf(g(x))在區(qū)間(a,b）上是增函數(shù).（2）．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：確定函數(shù)的定義域；
將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；
若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)yf(g(x))為減函數(shù)。
�。�4）例題演練例1、求函數(shù)ylog212(x2x3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明2解：定義域x2x30x3或x1
單調(diào)減區(qū)間是(3,)設(shè)x1,x2(3,)且x1x2則
y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數(shù)0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數(shù)22121
同理可證：y在(,1)上是增函數(shù)［例］2、討論函數(shù)f(x)loga(3x22x1)的單調(diào)性.［解］由3x22x10得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
1{x|x1,或x}.
3則當(dāng)a1時(shí)，若x1，∵u3x22x1為增函數(shù)，∴f(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).
若x13，∵u3x22x1為減函數(shù).
∴f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)。
當(dāng)0a1時(shí)，若x1，則f(x)loga(3x22x1)為減函數(shù)，若xf(x)loga(3x22x1)為增函數(shù).
13，則
例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)t=2-a>0是減函數(shù)
由y=loga(2-a)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=logat是增函數(shù)，∴a＞1
由x［0，1］時(shí)，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2
當(dāng)0例4、已知函數(shù)f(x2)ax2(a3)xa2（a為負(fù)整數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)
(m2,0),mR，設(shè)g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).問是否存在實(shí)數(shù)p(p0)使得
F(x)在區(qū)間(,f(2)]上是減函數(shù)，且在區(qū)間(f(2),0)上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。
�。劢馕觯萦梢阎猣(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得
1273a1273.
∵a為負(fù)整數(shù)，∴a1.
∴f(x2)x4x3(x2)21，
2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，
∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)p(p0)，使得F(x)滿足條件，設(shè)x1x2，
22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，當(dāng)x1,x2(,3)時(shí)，F(xiàn)(x)為減函數(shù)，
220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①
當(dāng)x1,x2(3,0)時(shí),F(x)增函數(shù),∴F(x1)F(x2)0.
220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②
，故存在p116.
�。�5）同步練習(xí)：
1．函數(shù)y＝logA．（－∞，1）C．（－∞，
3212（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
B．（2，＋∞）D．（
32），＋∞）
解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）
在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．
答案：B
2找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（1）yax（2）y223x2(a1)；.
x22x3答案：(1)在(,]上是增函數(shù)，在[,)上是減函數(shù)。
2233（2）單調(diào)增區(qū)間是[1,1]，減區(qū)間是[1,3]。
3、討論yloga(a1),(a0,且a0)的單調(diào)性。
答案：a1,時(shí)(0,)為增函數(shù)，1a0時(shí)，(,0)為增函數(shù)。4．求函數(shù)y＝log13x（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．
解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R．因
�。�
為函數(shù)y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，函
52數(shù)y＝log13（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，
�。�
上為減函數(shù)，在［
52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也
為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．
變式練習(xí)一、選擇題
1．函數(shù)f（x）＝log
A．（1，＋∞）C．（－∞，2）
12(x－1)的定義域是（）
B．（2，＋∞）
2]D．(1，解析：要保證真數(shù)大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，
x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2．
答案：D2．函數(shù)y＝log
12（x2－3x＋2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
B．（2，＋∞）D．（
32A．（－∞，1）C．（－∞，
32），＋∞）
解析：先求函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ璷，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數(shù)t（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調(diào)遞減．
答案：B
3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，則
A．4
yx的值為（）B．1或D．
1414
C．1或4
yx錯(cuò)解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y(tǒng)，則有
14＝或
xy＝1．
答案：選B
正解：上述解法忽略了真數(shù)大于0這個(gè)條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y(tǒng)舍掉．只有x＝4y．答案：D
4．若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）＝log的.取值范圍為（）
A．（0，C．（
12122a（x＋1）滿足f（x）＞0，則a
�。�
B．（0，1）D．（0，＋∞）
，＋∞）
解析：因?yàn)閤∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當(dāng)f（x）＞0時(shí)，根據(jù)圖象只有0＜
2a＜l，解得0＜a＜答案：A
12（根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)）．
5．函數(shù)y＝lg（
21－x－1）的圖象關(guān)于（）
1＋x1－xA．y軸對(duì)稱C．原點(diǎn)對(duì)稱
21－x
B．x軸對(duì)稱D．直線y＝x對(duì)稱
1＋x1－x解析：y＝lg（
�。�1）＝lg，所以為奇函數(shù)．形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函數(shù)都為奇函數(shù)．答案：C二、填空題
已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是減函數(shù)，要使y＝loga（2－ax）是減函數(shù)，則a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）
7．函數(shù)f（x）的圖象與g（x）＝（的單調(diào)遞減區(qū)間為______．
解析：因?yàn)閒（x）與g（x）互為反函數(shù)，所以f（x）＝log則f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．
13）的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f（2x－x2）
xx
13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．
�。▁）＝2x－x2在（0，1）上單調(diào)遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調(diào)遞減；（x）＝2x－x2在（1，2）上單調(diào)遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調(diào)遞增．所以f（2x－x2）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．答案：（0，1）
8．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在［0，＋∞］上是增函數(shù)，且f（則不等式f（log4x）＞0的解集是______．解析：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（－
1212）＝0，
�。絝（
12）＝0．又f（x）在［0，＋∞］
12上是增函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)．所以f（log4x）＞0log4x＞
9
或log4x＜－
12．
12解得x＞2或0＜x＜
�。�
12答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數(shù)y＝log13
�。▁2－5x＋4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．
解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當(dāng)x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數(shù)的值域是R
＋＋
�。�?yàn)楹瘮?shù)y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）與（x）＝x2－5x＋4復(fù)合而成，
52函數(shù)y＝log13（x）在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)（x）＝x2－5x＋4在（－∞，
�。�
上為減函數(shù)，在［
52，＋∞］上為增函數(shù)．考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log13（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4也
為減函數(shù)的區(qū)間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y＝log313（x）為減函數(shù)、（x）＝x2－5x＋4為增函數(shù)的區(qū)間，即（4，＋∞）．10．設(shè)函數(shù)f（x）＝
23x＋5＋lg3－2x3＋2x，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
�。�3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x），問函數(shù)y＝f1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?
�。�
若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無交點(diǎn)，說明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＜
323－2x3＋2x＞0，解得x≠－
53且－
32＜x＜
32．取交集得－
32＜x
．
2（2）令（x）＝
3－2x3＋2x＝－1＋
3x＋56，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
3＋2x隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
又y＝lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知，y＝lg（x）＝
23x＋53－2x3＋2x是減函數(shù)，所以f
�。玪g3－2x3＋2x是減函數(shù)．
（3）因?yàn)橹苯忧骹（x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解．
設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x）與工軸的交點(diǎn)為（x0，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義
�。�
域與值域的關(guān)系可知，f（x）與y軸的交點(diǎn)是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0＝
一．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
�。椎闹笖�(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)；
（二）主要方法：
1．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；
2．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1，要注意對(duì)底數(shù)的討論；3．比較幾個(gè)數(shù)的大小的常用方法有：①以0和1為橋梁；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③作差．（三）例題分析：
2例1．（1）若aba1，則logbxyz（2）若23525．所以函數(shù)y＝f1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（
�。�
25，0）。
ba，logba，logab從小到大依次為；
z都是正數(shù)，，且x，則2x，y，3y，5z從小到大依次為；
xx（3）設(shè)x0，且ab1（a0，b0），則a與b的大小關(guān)系是（）
�。ˋ）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab
2解：（1）由aba1得
baa，故logbbxyz（2）令235t，則t1，xalgtlogba1logab．
lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，
∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；
同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z．（3）取x1，知選（B）．例2．已知函數(shù)f(x)ax(a1)，
x1求證：（1）函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根．
x2證明：（1）設(shè)1x1x2，則f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21
ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21)，
∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴
3(x1x2)(x11)(x21)0；
∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，
∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)；（2）假設(shè)x0是方程f(x)0的負(fù)數(shù)根，且x01，則a即ax0x0x02x010，
2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴
3x0112，而由a1知ax0當(dāng)1x00時(shí)，0x011，∴∴①式不成立；
當(dāng)x01時(shí)，x010，∴
3x011，
0，∴
3x0111，而ax00，
∴①式不成立．
綜上所述，方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根．
例3．已知函數(shù)f(x)loga(ax1)（a0且a1）．求證：（1）函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；
�。�2）函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．
證明：（1）由a10得：a1，
∴當(dāng)a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右側(cè)；
當(dāng)0a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的左側(cè)．
∴函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；
�。�2）設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)，且x1x2，則直線AB的斜率ky1y2x1x2x1x2xx，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，
當(dāng)a1時(shí)，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，
111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；
x1當(dāng)0a1時(shí)，由（1）知x1x20，∴a∴
ax1x2ax21，∴ax11ax210，
1，∴y1y20，又x1x20，∴k0．1∴函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0．
a1
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)7
一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。
注意點(diǎn)：(1)對(duì)映射定義的理解。(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射
2、函數(shù)
構(gòu)成函數(shù)概念的三要素
�、俣x域②對(duì)應(yīng)法則③值域
兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：
(1)分式的`分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;
(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
�、僦苯臃ǎ簭淖宰兞縳的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù);
�、趽Q元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式;
③判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;
④分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時(shí)要畫圖);
�、輪握{(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;
�、迗D象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域;
�、呃脤�(duì)號(hào)函數(shù)
�、鄮缀我饬x法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對(duì)值函數(shù)
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對(duì)于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。
如果對(duì)于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇
函數(shù)。
2.性質(zhì)：
�、賧=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]
3.奇偶性的判斷
�、倏炊x域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系
五、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義：
2設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。
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